Меню
Головна
 
Головна arrow Економіка arrow Оцінка вартості підприємства
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Лекція 6 Елементи фінансової математики

Прочитавши цю главу, ви будете знати:

o декурсивный і антисипативный способи;

o облік впливу інфляції.

Розрахунок вартості підприємства (бізнесу), як і більшість економічних розрахунків, що ґрунтується на обчисленні відсотків декурсивным або антисипативным (попередніми) способом і теорії ануїтетів.

Проценти - це дохід в різних формах від надання фінансових коштів (капіталу) у борг або інвестицій.

Процентна ставка - показник, що характеризує величину доходу або інтенсивність нарахування відсотків.

Коефіцієнт нарощення - величина, що показує співвідношення нарощеного початкового капіталу.

Період нарахування - проміжок часу, по закінченні якого нараховуються відсотки (виходить дохід). Період нарахування може ділитися на інтервали нарахування.

Інтервал нарахування - мінімальний період, після якого відбувається нарахування частини відсотків. Відсотки можуть нараховуватися в кінці інтервалу нарахування (декурсивный спосіб) або на початку (антисипативный або попередній спосіб).

Декурсивный спосіб

Декурсивная відсоткова ставка (позиковий відсоток) - це відношення суми доходу, нарахованого за певний період, до суми, що є на початок даного періоду.

Коли після нарахування доходу за цей період дохід виплачується, а в наступний період процентний дохід нараховується на початкову суму, тоді використовується формули нарахування простих ставок позичкового відсотка.

Якщо ввести позначення:

i (%) - річна ставка позичкового відсотка (income); i - відносна величина річної ставки відсотків; I - сума процентних грошей, виплачуваних за період (рік);

P - загальна сума відсоткових грошей за весь період нарахування;

Р - величина первісної грошової суми (present value);

F - нарощена сума (future value);

kn - коефіцієнт нарощення;

п - кількість періодів нарахування (років);

d - тривалість періоду нарахування в днях;

К - тривалість року в днях До = 365 (366), то декурсивная процентна ставка (i):

Тоді

Звідси (6.1)

Тоді коефіцієнт нарощення:

Якщо інтервал нарощення менше одного періоду (року) , то

(6.2)

Визначення величини нарощеної суми F (future value) називається компаундингом (compounding).

Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на 3 роки за простою ставкою 12% річних. Визначити нарощену суму.

За формулою (6.1):

Приклад. Кредит 25 000 руб. видано на 182 дні, рік звичайний, за простою ставкою відсотків 12% річних. Визначити нарощену суму.

За формулою (6.2):

Іноді виникає необхідність вирішити зворотну задачу: визначити величину первісної (поточної, наведеною) суми Р (present value), знаючи, якою повинна бути нарощена сума F (future value):

(6.3)

Визначення величини первісної (поточної, наведеною) суми р (present value) називається дисконтуванням (discounting).

Приклад. Через 3 роки необхідно мати суму 16 500 руб. Яку суму у цьому випадку необхідно покласти на депозит за простою ставкою 12% річних.

Перетворюючи формули 6.1-6.3, можна отримати

Процентні ставки в різні періоди можуть бути змінені.

Якщо протягом різних періодів нарахування п,, п2,..., nN, використовуються різні ставки відсотків i1, i2,..., iN, де N - загальна кількість періодів нарахування, то сума процентних грошей в кінці періодів нарахування за ставкою відсотків i1:

де n1 - кількість періодів нарахування за ставкою відсотків i1 в кінці періодів нарахування за ставкою відсотків і т. д.

Тоді при JV-періодах нарахування нарощена сума (N - номер останнього періоду) при будь-якому :

(6.4)

де коефіцієнт нарощення: (6.5)

Приклад. Кредит у розмірі 250 000 руб. видається на 2,5 роки за простою ставкою відсотків. Процентна ставка за перший рік i = 18%, а за кожне наступне півріччя вона зменшується на 1,5%. Визначте коефіцієнт нарощення і нарощену суму.

За формулою (6.5): kn = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

За формулою (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.

Зворотний завдання:

Якщо пк = 1, то , (6.7)

де коефіцієнт нарощення:. (6.8)

Приклад. Кредит у розмірі 250 000 руб. видається на 5 років за простою ставкою відсотків. Процентна ставка за перший рік i = 18%, а наступний рік вона зменшується на 1,5%. Визначте коефіцієнт нарощення і нарощену суму.

За формулою (6.8): kn = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

За формулою (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.

Коли після нарахування доходу за період цей дохід не виплачується, а приєднується до грошової суми, наявної на початок цього періоду (до суми, що створила цей дохід), та в наступний період процентний дохід нараховується на всю цю суму, тоді використовуються формули нарахування складних відсотків.

Якщо до представленим позначенням додати:

ic - відносна величина річної ставки складних відсотків;

knc - коефіцієнт нарощення у випадку складних відсотків;

j - номінальна ставка складних позичкових відсотків, за якою обчислюється поинтервальная ставка складних позичкового відсотка, то за період нарахування дорівнює року, нарощена сума складе: . За другий період (за рік): і т. д.

Через п років нарощена сума складе:

(6.9)

де коефіцієнт нарощення knc дорівнює:

(6.10)

Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на 3 роки за складною ставкою 12% річних. Визначте нарощену суму.

За формулою (6.9)

Вирішуючи зворотну задачу:

де - коефіцієнт дисконтування.

Коефіцієнт дисконтування - величина, зворотна коефіцієнту нарощення:

Приклад. Через 3 роки необхідно мати суму 16 500 руб. Яку суму у цьому випадку необхідно вкласти на депозит за складною ставкою 12% річних.

Порівнюючи коефіцієнти нарощення при нарахуванні простих і складних відсотків видно, що при п > 1. Чим більше періодів нарахування, тим більше відмінність у величині нарощеної суми при нарахуванні складних і простих відсотків.

Можна визначити інші параметри:

(6.11)

(6.12)

Якщо кількість періодів нарахування складних відсотків п не є цілим числом, то коефіцієнт нарощення можна представити у двох видах:

1)

де п - не кратне цілому числу періодів нарахування складних відсотків;

2)

де п = пц + d - загальна кількість періодів (років) нарахування, що складається з цілих і нецілого періодів нарахування; пп - кількість цілих (повних) періодів (років) нарахування; d - кількість днів нецілих (неповного) періоду нарахування; К = 365 (366) - кількість днів у році; ic - відносна величина річної ставки складних відсотків.

Обидва варіанти були, але дають різні значення із-за різної точності обчислення.

Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на 3 роки 6 місяців за складною ставкою 12% річних. Визначте нарощену суму.

1) F = 25 000 (1 + 0,12)3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;

2) F = 25 000 (1 + 0,12)3(1 + (180 : 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.

Величина річної ставки складних відсотків i1, i2,..., iN може бути різною протягом різних періодів нарахування n1, n2,..., nN.

Тоді нарощена сума в кінці першого періоду (року) нарахування:

У другому періоді (через рік):

N-період (за п періодів (років):

(6.13)

Тоді коефіцієнт нарощення:

(6.14)

Приклад. Кредит у розмірі 250 000 руб. видається на 5 років за складною ставкою відсотків. Процентна ставка за перший рік i = 18%, а наступний рік вона зменшується на 1,5%. Визначте коефіцієнт нарощення і нарощену суму.

За формулою (6.14): knc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

За формулою (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.

Зворотний завдання:

Якщо нарахування складних відсотків проводиться поинтервально, тобто кілька разів за період, то формула нарахування за інтервал

(6.15)

де j = i - номінальна ставка складних позичкових відсотків; т - кількість інтервалів нарахування в періоді (поквартально, щомісячно тощо).

Дохід за інтервал приєднується до грошової суми, наявної на початок цього інтервалу.

Тоді нарощена сума при поинтервальном нарахування за кожний період через п періодів (років) складе

(6.16)

Крім того, можна визначити інші параметри:

(6.17)

(6.18)

Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на п = 3 роки за складною ставкою 12% річних, виплата по півріччях т = 2. Визначте нарощену суму.

За формулою (6/16) .

Якщо кількість періодів нарахування складних відсотків п не є цілим числом, то коефіцієнт нарощення можна представити у вигляді

(6.19)

або

де пп - кількість цілих (повних) періодів (років) нарахування; р - кількість цілих (повних) інтервалів нарахування, але менше загальної кількості інтервалів в періоді, тобто р < m;d - кількість днів нарахування, але не менше кількості днів в інтервалі нарахування.

Приклад. Кредит 25 000 руб. виданий на і =3 роки 8 місяців 12 днів за складною ставкою 12% річних, виплата по півріччях т = = 2. Визначте нарощену суму.

За формулою (6.19)

 
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Схожі тими

Склад, основні елементи та аналітична цінність форм фінансової звітності
Н. Бухарін: "імперіалізм як інтегральний елемент фінансового капіталізму"
Фінансовий механізм і його основні елементи
Елементи фінансово-банківської системи Китаю
Прибуток підприємства як ключовий елемент фінансового планування
Господарські відносини у країнах стародавнього сходу. Азіатський спосіб виробництва
СПОСОБИ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ВИКОНАННЯ КРЕДИТНИХ ЗОБОВ'ЯЗАНЬ
Час, місце, обстановка, спосіб, знаряддя, засіб вчинення злочину: поняття і зміст
Імовірнісні і невероятностные способи побудови вибірки
Поняття законності і способів її забезпечення
 
Предмети
Банківська справа
БЖД
Бухоблік і аудит
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика і естетика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Соціологія
Страхова справа
Товарознавство
Філософія
Фінанси