Меню
Головна
 
Головна arrow Менеджмент arrow Методи прийняття управлінських рішень
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Багатофакторні і нелінійні рівняння регресії

Розглянута вище однофакторная лінійна модель - найпростіша. На практиці ж чаші на досліджуваний показник впливають кілька незалежних один від одного факторів. При цьому їх вплив може носити як лінійний, так і нелінійний характер.

Часто для задоволення потреб практики використовуються багатофакторні лінійні моделі, що володіють простотою отримання і ясністю економічної інтерпретації.

Лінійна багатофакторна модель має вигляд

Для розрахунку статистичних коефіцієнтів рівняння регресії ат, а, а2,... використовується метод найменших квадратів.

Для лінійної двофакторної моделі

необхідно знайти мінімум функції

Взявши приватні похідні функції 5 з а$, а і а2, отримуємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими, рішення якої дозволить знайти необхідні статистичні коефіцієнти

Коефіцієнти ат, а і а2 можуть бути знайдені за аналогією з розглянутим раніше прикладом або способом визначників. При використанні способу визначників спочатку знаходять загальний визначник

В результаті знаходяться значення статистичних коефіцієнтів

Якщо на показник ^ найбільший вплив чинить один фактор ж, але зв'язок між ними носить нелінійний характер, то використовується однофакторная нелінійна модель (типу параболи) виду

Для отримання коефіцієнтів рівняння параболічного рівняння, наприклад другого порядку (у = а§ + ахх + + а$г), використовується наступна система рівнянь, також отримана за допомогою методу найменших квадратів:

У випадках коли на показник у нелінійно впливає кілька факторів, слід використовувати статечні

або показові функції

Вибір виду моделі регресії

Вибір виду моделі при аналізі, найкращим чином характеризує істота економічного процесу, передбачає виконання наступної послідовності рекомендацій:

1) провести якісний відбір факторів виходячи з припущення про можливий їх вплив на аналізований показник;

2) зібрати та систематизувати інформацію про значеннях показника і факторів по таблиці-матриці факторів - п дослідів";

3) провести графічний аналіз зв'язку між показником і кожним фактором, що дозволяє попередньо встановити наявність зв'язку та її вид (зростаюча або спадна, прямолінійним або криволінійним функція);

4) побудувати регресійну модель. При цьому якщо графічний аналіз не дозволяє однозначно вибрати вид моделі, то слід використовувати одну і ту ж статистику для отримання різних рівнянь (лінійних і нелінійних, однофакторних та багатофакторних) і порівняти їх між собою по одному з відомих критеріїв, наприклад, за методом найменших квадратів:

Приклад 17.2. Для вихідних даних табл. 17.1 знайдіть рівняння параболічної моделі регресії і порівняйте її з лінійною.

Для знаходження рівняння параболи складається система рівнянь

Далі знаходяться визначники

і статистичні коефіцієнти

В результаті рівняння параболи другого ступеня має вигляд

Зіставимо (табл. 17.2) розрахункові значення показника р/ф, отримані з допомогою параболічного та лінійного рівняння регресії(//;|) = 3 + 1,3 лг().

З табл. 17.2 видно, що рівняння параболи має менший сумарний розкид 5 точок відносно лінії регресії, ніж рівняння прямої (0,05 < 5,3)-

Таблиця 17.2

Критерії прийнятності рівняння регресії

Один із критеріїв ефективності рівняння регресії - відносна похибка е,т1. У розглянутому вище прикладі відносна похибка еотн при використанні лінійного рівняння порівняно з рівнянням параболи становить

Відносна похибка еотн дає можливість співвіднести точності використовуваних регресійних залежностей відносно один одного, але не відповідає на питання: наскільки ці рівняння регресії близькі до дійсних значень?

Відповідь па це питання може бути дано іншим критерієм прийнятності рівняння регресії - середньою відносною помилкою 8ор, яка визначається як відношення суми абсолютних значень відхилень фактичних значень від розрахункових до суми всіх фактичних значень показника

На практиці прийнято вважати, що якщо величина Еср < 15%, то модель адекватна реальному процесу. У розглянутому прикладі єСр для лінійної регресії становить(3,8/25)-100% = 15,2%, а для параболічної регресії- (0,4/25) -100% = 1,6%.

Таким чином, перша модель (лінійна регресія) за розглянутим критерієм визнається не прийнятною по точності, в той час як параболічна регресія відповідає поставленим вимогам.

Для оцінки відповідності рівняння регресії реальної статистикою часто використовується критерій Фішера Р, обчислюваний за формулою

де а^р - дисперсія регресії, що характеризує відхилення розрахункових значень показника від його середнього значення

де п - кількість пар спостережень уг і х£ т - кількість обчислюваних статистичних параметрів (а0, а> "2" ooo): ^ост ~~ ос~ таточная дисперсія, що характеризує відхилення фактичних значень показника у від розрахункових, отриманих з допомогою рівняння регресії

Величина ар0Г характеризує інтенсивність зміни показника при зміні фактора, а значення а^. -щільність розташування точок відносно рівняння регресії.

Розрахункове значення ^-критерію (^розрах) порівнюється з табличним (^табл)- При ^розр > ^табл гіпотеза про адекватність перевіряється рівняння регресії приймається, в противному разі - відкидається. При цьому враховується ступінь гарантії, з якої можна прийняти гіпотезу про можливість використання перевіряється рівняння регресії.

Приклад 17.3. Для розглянутого вище прикладу перевірте гіпотезу про адекватність лінійного рівняння = 3 + 1,3 л",-реальної статистики за критерієм Фішера з рівнем гарантії 90%.

Розрахуємо середнє значення показника

По таблиці значень критерію Фішера для ступенів свободи т - 1 = 1 іп - т = 2 і довірчої ймовірності (рівня гарантії 90%) знаходимо табличне значення критерію = = 8,53. Оскільки Fp.ІСЧ > /^бл* гіпотеза про адекватність лінійної моделі не відхиляється.

Економічний сенс коефіцієнтів у рівняннях регресії

Економічний зміст коефіцієнтів рівняння регресії розглянемо на прикладі лінійної однофакторної моделі виду у = а§ + <цх.

Коефіцієнт #0 характеризує:

o існування крім х інших факторів, що роблять вплив на результуючий показник р/;

o наявність великої кількості випадкових факторів, що роблять вплив на результуючий показник у;

o недостатність вихідних статистичних даних для визначення форми залежності між х і у.

Коефіцієнт а характеризує ступінь зміни результуючого показника у при варіюванні досліджуваного впливає факторах.

 
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Схожі тими

"Рівняння обміну" В. Фішера
Нелінійне і динамічне програмування; поняття про імітаційному моделюванні
Багатофакторні моделі. Теорія арбітражного ціноутворення
Вибір моделі оцінки і прогнозування грошових потоків
Фінансова модель і вибір між двома стратегіями розвитку бізнесу
Вибір номенклатури головних і основних параметрів виробів
"Рівняння обміну" В. Фішера
Критерій Шарльє
Критерії для виключення систематичних похибок
"Рівняння обміну" В. Фішера
Рівняння збалансованого зростання
Кореляційні зв'язки між економічними показниками та факторами
 
Предмети
Банківська справа
БЖД
Бухоблік і аудит
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика і естетика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логістика
Маркетинг
Медицина
Менеджмент
Політологія
Політекономія
Право
Психологія
Соціологія
Страхова справа
Товарознавство
Філософія
Фінанси